Терминът функция може да има различни значения в различните области на човешкото познание. Такива значения са:
Функция в математиката — закон за зависимост на една величина от друга, подробно описани по-долу в хода на настоящото изложение
Функция в областта на биологията — работата, извършвана от определен орган, организъм; роля, значение на нещо. Много често физиолозите вземат на подбив анатомите - според първите вторите изучават мъртви организми и следователно анатомията е наука от втория ешелон; физиологията пък е първостепенна наука, тъй като изучава функцията на организмите, като всяка една функция е налична само при живи растения и животни. Следователно физиологията е науката на Живота, а анатомията - науката на смъртта!
Функция в техниката и различните инженерни науки означава възможност, опция, умение на програма, инструмент, уред или апарат
Функция в областта на софтуера и изобщо информационните технологии пък означава вид подпрограма, подчинена на основната програма или част от нея. През последните няколко години вместо функция започва все повече да се говори за функционалност - което като понятие има почти същото значение, но с известни вариации. Най-общо под функционалност се разбира набор от различни функции. Това понятие започва да се употребява не само в областта на информационните технологии, но и в биологията, медицината и инженерните науки. Следователно функционалността представлява разширена функция, софтуер, уред или апарат, който е по-усложнен и с повече възможности.
Функция в математиката е съпоставяне на определена величина, наричана аргумент, на друга величина, наричана стойност, като на всеки аргумент се съпоставя точно една стойност. Аргументът и стойността могат да бъдат реални числа, но също и елементи на всяко друго множество. Пример за функция е f(x) = 2x – функция, която съпоставя на всяко число числото, два пъти по-голямо от него. Така на 5 се съпоставя 10, което се изписва като f(5) = 10. Аргументите на функциите могат да бъдат не само числа, но и други добре дефинирани обекти. Например, дадена функция може да съпоставя на буквата A числото 1, на буквата B числото 2 и така нататък - което представлява основата на изработването на различни шифровъчни методи за предаване на информация. Съществуват много начини за описване или представяне на функциите – формули, алгоритми, изчисляващи стойностите за различни аргументи, графики, които дават графично изображение на стойностите, или таблици със стойностите за конкретни аргументи. Всички те се използват често в статистиката, природните науки и техниката.
Множеството от всички възможни аргументи на дадена функция се нарича дефиниционно множество. В съвременната математика функциите обикновено се дефинират и с определено множество, включващо всички възможни стойности на функцията. Например, функциите с реални стойности имат за такова множество всички реални числа, дори когато отделни такива функции не включват всяко реално число сред своите стойности. Функциите могат да бъдат описани и чрез отношението си към други функции. Например, като обратната функция на дадена функция или като решението на диференциално уравнение. Функциите могат за бъдат събирани, умножавани или съчетавани по други начини, за да се получат нови функции. Важно действие, извършвано върху функциите, което ги отличава от числата, е композицията, при която стойността на дадена функция става аргумент на друга функция. Групи функции с определени свойства, например непрекъснати функции или диференцируеми функции, се наричат функционни пространства и се изследват като самостоятелни обекти в области като реалния и комплексния анализ. Съществуват неизброимо много различни функции, повечето от които не могат да бъдат описани с формула или алгоритъм.
Строга дефиниция на понятието функция може да бъде формулирано в теорията на множествата с помощта на наредени двойки и релации. Дефиниционното множество X, множеството на стойностите f(x) и включващото го множество Y са основни понятия в математиката. Функцията ƒ има аргумент x и стойност ƒ(x) – метафорично тя може да бъде описана като устройство, което преобразува аргумента в стойност. Функциите се срещат във всички области на математиката и природните науки, но различните области имат различни означения, различна представа за свойствата на функциите и дори различна дефиниция. Теорията на множествата разглежда функциите в най-голяма общност. Единственото свойство, което се изисква от една функция, е да съпоставя единствена стойност на всеки свой допустим аргумент. Ако един аргумент има повече от две стойности на функцията, това вече не е функция, а някаква друга зависимост - учебен материал от шести клас, но този елементарен факт е в основата на ужасно много постижения на човешкото познание. Не се изисква аргументът или стойността да са числа, например функцията, която съпоставя на всяка държава нейната столица, не задава зависимост между числови множества. Примерът е изключително показателен - няма държава с две столици, така, както и няма функция при която аргументът има две съответстващи стойности.
Графика на една функция. На всяка стойност на аргумента Х съответства една и само една стойност на функцията - У. И двете числа могат да имат положителни и отрицателни стойности. Обикновено Х се нанася върху абсцисната ос, която е хоризонтална, а У - върху ординатната ос, която е вертикална. В много случаи наличието на отрицателни стойности е невъзможно - няма как да има отрицателно време, колкото и тийнейджърите да употребяват това словосъчетание. Не може да съществуват и отрицателни размери - телата в материалния свят имат винаги положителен размер, колкото и да са малки.
Графика, която при нормални условия не би представлявала функция, а някаква друга зависимост. Вижда се как има стойности върху оста Х, при които има повече от една съответстваща стойност по оста У. Така например при стойност 7 на аргумента има цели три стойности на функцията У. Подобни зависимости се срещар в природата доста по-рядко, отколкото се срещат функции. В случай че върху оста Х се нанесе показател време, при подобна зависимост би означавало че времето се връща назад, което към настоящия момент на развитие на физиката се смята за невъзможно.
В алгебрата функциите обикновено се изразяват с помощта на алгебрични операции. Функциите, изследвани в анализа, обикновено притежават допълнителни свойства като непрекъснатост или диференцируемост. Пример за такава функция е функцията синус. Обикновено изучаваните там функции не могат да се изразят с една формула. В комплексния анализ се разглеждат аналитични функции, които могат да се изразят чрез развитие в степенен ред. В комплексния анализ се разглеждат и специален клас многозначни функции, които могат да съпоставят повече от една стойност на даден аргумент - което е в очевидно противоречие с дефиницията за функция. Въпреки че формално погледнато те не са функции, те имат много близки свойства до свойствата на аналитичните функции. За разлика от теорията на множествата в ламбда - изчисленията функциите са примитивен обект и не се дефинират посредством множества. В много области на математиката термините карта, изображение, трансформация и оператор се използват като синоними на функция. В някои случаи обаче те могат да имат по-специално значение. Например под трансформация често се разбира функция, за която множеството на аргументите и множеството на стойностите съвпадат. В теорията на категориите се използва понятието морфизъм, което е обобщение на някои видове функции.
Аргументът на функцията, наричан също независима променлива, най-често се означава с буквата x или (когато изразява време) с буквата t. Стойността на функцията обикновено се изразява с буквата y. За самата функция в повечето случаи се използва символът f. Така изразът y = f(x) показва, че функцията, наречена f, има аргумент, наречен x, и стойност, наречена y. Множеството от всички позволени аргументи на дадена функция се нарича нейно дефиниционно множество, а множеството от всички стойности – множество на стойностите на функцията. Така функцията f(x) = x2 има за дефиниционно множество всички реални числа, а множеството на стойностите ̀ включва всички неотрицателни реални числа - тъй като всяко отрицателно число, повдигнато на втора степен, дава като резултат положително число. От своя страна положителното число, повдигнато на втора степен, също дава като резултат положително число.
Една приблизителна дефиниция на понятието функция е следната: нека A и B са множества. Функция от A в B е правило, което съпоставя на всеки елемент от A точно един елемент от B. Тази интуитивна представа за функциите се използва от древни времена и все още се среща на места, където строга дефиниция не е необходима, например в училищните учебници по математика. Проблемът при нея е, че зависи от неясното понятие правило - поне в областта на математиката, тъй като в логиката и философията съществуват идеални дефиниции за правила. Правилото е норма или предписание, което установява определени начини и норми на поведение или стандарти, които трябва да бъдат спазвани. Тези правила могат да се прилагат в различни контексти и области на живота. Например, в контекста на юридическите науки правилата се използват за регулиране на поведението на хората и определяне на техните права и задължения - какво може и какво не може да се прави, какво е разрешено и какво - забранено, и по презумпция всичко, което не е забранено, е разрешено. Последното твърдение представлява постулат от римското право и е залегнало в конституциите на повечето държави по света. В спорта също има правила, които установяват начина на игра и състезателните условия. В различни области на науката и индустрията също има свои правила и стандарти, които се използват за гарантиране на качество и безопасност. В областта на икономиката цял един раздел (либертарианството) се гради върху концепцията за минимално количество правила, като идеята е човек да бъде максимално свободен в своята стопанска активност или поне дотолкова свободен, доколкото да не вреди и да не ограничава свободата на останалите. Обаче точното значение на правило може да варира в зависимост от контекста и областта на приложение - което между другото е валидно и за всяко друго понятие или термин. В повечето случаи правило означава установена закономерност, постоянно съотношение между някакви явления; норма. Граматическото правило е свързано с установени норми на изписване на думи и изречения. Друга дефиниция за правило е предписание за извършването на нещо по определен начин.
Ако за всяка стойност на x съществува точно една такава опрделена според различни правила стойност на y, то f се нарича тотална функция. В този ред на мисли под функция обикновено се разбира тотална функция - което и беше описано в хода на настоящото изложение в нашия сайт.
Обекти, които според съвременните разбирания се считат за функции, са били разглеждани още в дълбока древност. В Древен Вавилон например са открити таблици на квадратите и кубовете на естествените числа. Птолемей е изчислявал дължини на хорди в окръжност, което по същество означава, че е използвал тригонометрични функции. Понятието обаче започва да се оформя едва през XIV век. Самото название функция се използва за първи път от Готфрид Лайбниц около 1670 г. Функциите, които той е разглеждал, днес се наричат диференцируеми функции и са най-често срещаният вид функции в приложенията на математиката. За тях имат смисъл понятията граница и производна. През 1755 г. Леонард Ойлер дава в книгата си Institutiones calculi differentialis съвременното разбиране за функция, а именно зависимост между две величини, при което промяната на едната величина (аргумента на функцията) води до промяна на другата величина (стойността на функцията). Въпреки това определение обаче Ойлер разглежда само непрекъснати функции, които могат да се изразят с формула, състояща се от крайно или безкрайно много алгебрични операции. Фурие започва да раглежда и някои прекъснати функции, но той смята, че всяка функция може да се изрази чрез ред на Фурие. Дирихле за пръв път разглежда числовите функции в пълната им общност. Той дава съвременната дефиниция на непрекъсната функция и дава пример за навсякъде прекъсната функция. Също така изяснява разликата между функцията и нейното представяне чрез формули. Интегрирането и диференцирането са основни математически операции в математическия анализ. Диференцирането изчислява скоростта на промяна (наклон) на дадена функция, докато интегрирането е обратната операция, която изчислява натрупването или площта под функцията. Те са взаимно обратни процеси и често се разглеждат като противоположни действия. Диференциране Цел: Изчисляване на производната на функция, което показва каква е скоростта на промяна на функцията в дадена точка.Геометрична интерпретация: Намиране на наклона на допирателната към графиката на функцията.Пример: Производната на \(x^{2}\) е \(2x\). Интегриране Цел: Намиране на примитивна функция (неопределен интеграл) или площта под кривата (определен интеграл).Геометрична интерпретация: Изчисляване на площта между графиката на функцията и оста \(x\).Пример: Интегралът на \(2x\) е \(x^{2}+C\), където \(C\) е произволна константа. Взаимовръзка Двете операции са обратни една на друга.Когато се приложат една след друга, те се неутрализират взаимно.Например, ако диференцирате функция и след това интегрирате резултата, ще получите първоначалната функция (плюс константа при неопределен интеграл). Производна на функция е основно понятие в диференциалното смятане, което характеризира бързината на изменение на функцията.[1] Функция, която има производна, се нарича диференцируема. Понятието е въведено от Нютон и Лайбниц независимо един от друг. Определение Нека функцията y = f(x) е дефинирана в точка x0 от дефиниционната си област. Нарастването на аргумента (означава се Δx) в този случай се определя като x−x0, а нарастването на функцията (Δy) – като f(x)−f(x0). Тогава, ако съществува граница lim Δ � → 0 Δ � Δ � {\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}, то тя се нарича производна на функцията f(x) в точката x0. Частното Δ � Δ � {\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}} се нарича диференчно частно. С други думи производна на функцията f(x) за дадена стойност (x0) се нарича границата (ако съществува) на отношението на нарастването на функцията и нарастването на аргумента х, когато нарастването на аргумента клони към 0 ( Δ � → 0 ) {\displaystyle {(\Delta x\rightarrow 0})}. Функция, която има производна в точка x, се нарича диференцируема в точка x. Математическото действие, с което се намира производната на една функция, се нарича диференциране. Означения при диференциране Съществуват различни начини за означаване на производните при диференциране. Означение на Лайбниц Означението за производна представено от Готфрид Лайбниц е едно от първите. То все още се използва когато уравнението y = ƒ(x) се разглежда като функционална зависимост между зависимите и независимите променливи. Първата производна се означава: � � � � {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}} (произнася се „де игрек де хикс“) Означение на Лагранж Една от най-разпространените означения при диференциране е дело на Жозеф Луи Лагранж. Първата производна се означава: � ′ ( � ) {\displaystyle f'(x)\,} (произнася се „еф прим хикс“) Означение на Нютон � ˙ = � � � � = � ′ ( � ) {\displaystyle {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}=x'(t)}, � ¨ = � ″ ( � ) {\displaystyle {\ddot {x}}=x''(t)} Означение на Ойлер � � � ( � ) {\displaystyle D_{x}f(x)\;} – за първа производна, � � 2 � ( � ) {\displaystyle {D_{x}}^{2}f(x)\;} – за втора производна, и � � � � ( � ) {\displaystyle {D_{x}}^{n}f(x)\;} – за n-та производна при n > 1 Изчисляване на производни Правила за диференциране Ако k е константа, то (ku)′ = ku′. (u+v)′ = u′+v′. Доказателство: Δ(u+v) = u(x+Δx)+v(x+Δx)−u(x)−v(x) = (u(x+Δx)−u(x))+(v(x+Δx)−v(x)) = Δu+Δv. (u · v)′ = u′ · v + u · v′. Доказателство: Δ(u · v) → u(x + Δx) · v(x + Δx) – u(x) · v(x) → (u(x) + Δu) · (v(x) + Δv) – u(x) · v(x) → u(x) · v(x) + u(x) · Δv + v(x) · Δu + Δu · Δv – u(x) · v(x) → u(x) · Δv + v(x) · Δu + Δu · Δv. (границата е равна на u′ · v + u · v′). ( ℎ ( � ( � ) ) ) ′ = ℎ ′ [ � ( � ) ] � ′ ( � ) {\displaystyle (h(g(x)))'=h'[g(x)]g'(x)} (uv)(n)= ∑ � = 0 � � � � � ( � − � ) � ( � ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}u^{(n-k)}v^{(k)}} – формула на Лайбниц. (u/v)′ = (u′v−uv′)/v2. Доказателство: Δ(u/v) = u(x + Δx) / v(x + Δx) − u(x) / v(x) = (u(x + Δx)v(x) − u(x)v(x + Δx)) / (v(x)v(x + Δx)) = (u(x + Δx)v(x) − u(x)v(x) − u(x)v(x + Δx) + u(x)v(x)) / (v(x)v(x + Δx)) = (Δu(x)v(x) – u(x)Δv(x)) / (v(x)v(x + Δx)), границата е равна на (u′v−uv′)/v2. Производни на някои функции Основна статия: Таблица на производни � � � � � ′ = 0 {\displaystyle const'=0} (константа), защото нарастването на всяка константа е 0. (ax)′ = ax ln a, в частност, (ex)′ = ex (logax)′ = 1/(x ln a) (логаритъм), в частност, (ln x)′ = 1/x (xa)′ = axa−1 ( � ) ′ = 1 2 � {\displaystyle ({\sqrt {x}})^{'}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}} (sin x)′ = cos x (синус) (cos x)′ = −sin x (косинус) (tg x)′ = 1 cos 2 � {\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}x}}} (тангенс) (cotg x)′ = − 1 sin 2 � {\displaystyle -{\frac {1}{\sin ^{2}x}}} (котангенс) (arcsin x)′ = 1 1 − � 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} (аркуссинус) (arccos x)′ = − 1 1 − � 2 {\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} (аркускосинус) (arctg x)′ = 1 1 + � 2 {\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}} (аркустангенс) (arcctg x)′ = − 1 1 + � 2 {\displaystyle -{\frac {1}{1+x^{2}}}} (аркускотангенс) Примерно пресмятане Производната на функцията � ( � ) = � 4 + sin ( � 2 ) − ln ( � ) � � + 7 {\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin(x^{2})-\ln(x)e^{x}+7\,} е равна на: � ′ ( � ) = 4 � ( 4 − 1 ) + � ( � 2 ) � � cos ( � 2 ) − � ( ln � ) � � � � − ln � � ( � � ) � � + 0 = 4 � 3 + 2 � cos ( � 2 ) − 1 � � � − ln ( � ) � � . {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos(x^{2})-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln {x}{\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos(x^{2})-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}} Смисъл на понятието Ако разгледаме скоростта на движение на едно тяло или дебита на една водна тръба или какъвто и да е друг показател, можем да изчислим средното изменение на показателя за определен интервал от време. Ако разгледаме едно тяло и крайните точки на времевия интервал са t и (t0), то средната скорост на тялото ще е изменението в изминатия път към (t- t0) (v = s/t). Колкото по-малък е този времеви интервал, толкова по-близо ще сме до дефиниране на скоростта в момента t0. Геометричен и физически смисъл на производната Геометрично представяне на понятието Производната на една функция в дадена точка е равна на тангенса от ъгъла, който допирателната към графиката ѝ в тази точка сключва с положителната посока на абсцисната ос. Скорост на изменението на функцията път Нека � = � ( � ) {\displaystyle s=s(t)} е законът за пътя на праволинейното равномерно движение. Тогава � ( � 0 ) = � ′ ( � 0 ) {\displaystyle v(t_{0})=s'(t_{0})} изразява моментната скорост на движението в момента от времето � 0 . {\displaystyle t_{0}.} Втората производна � ( � 0 ) = � ″ ( � 0 ) {\displaystyle a(t_{0})=s''(t_{0})} изразява ускорението в момента � 0 . {\displaystyle t_{0}.} Въобще производната на функцията � = � ( � ) {\displaystyle y=f(x)} в точката � 0 {\displaystyle x_{0}} изразява скоростта на изменение на функцията в точката � 0 {\displaystyle x_{0}}. Производни от по-висок ред Нека f(x) е диференцуема функция и f′(x) е нейната производна. Производната на f′(x) (ако съществува) се означава като f′'(x) и се нарича втора производна на f(x). Също така производната на втората производна (ако съществува) се нарича трета производна. За някои функции този процес продължава и те имат четвърта и т.н. – производни от по-висок ред. Функцията f може да няма производна – например, ако не е непрекъсната. Тогава тя може да няма и втора производна. Например нека � ( � ) = { � 2 , if � ≥ 0 − � 2 , if � ≤ 0 . {\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2},&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x^{2},&{\mbox{if }}x\leq 0\end{cases}}.} Елементарно пресмятане показва, че f е диференцуема функция, чиято производна е � ′ ( � ) = { 2 � , if � ≥ 0 − 2 � , if � ≤ 0 {\displaystyle f'(x)={\begin{cases}2x,&{\mbox{if }}x\geq 0\\-2x,&{\mbox{if }}x\leq 0\end{cases}}}. f′(x) няма производна в нулата. Подобни примери показват, че една функция може да има k производни за някакво цяло неотрицателно k, но да няма производна от (k + 1)-ви ред.